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DGL 2. Ordnung
Könnte mir jemand bei der Bestimmung der allgemeinen Lösung bei folgender DGL helfen, Ich blicke bei der ganzen Sache nämlich ÜBERHAUPT nicht durch. Ideal wäre es natürlich wenn es jemand verständlich durchrechnen und hochstellen würde.
y" - 7y' + 12y = e^(2x) sinx
Ich weiss nur dass die allgemeine Lösung GLEICH der allgemeinen Lösung der homogenen Lösung (die man mittels charakteristischer GLG bestimmen kann) PLUS der partikulären Lösung der inhomogenen Gleichung ist. Sprich y=yh + yp
aber WIE BILDE ich die PARTIKULÄRE LÖSUNG???
DANKE!
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Eine Frage noch bzgl DGL diesmal erster Ordnung. Wie löse ich (am besten) folgendes Bsp?
y^(2) - 7 + 2xyy' = 0
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das ist eine DG der Form $ f+g\cdot y'=0 $
Da schaust du zuerst, ob die DG exakt ist, also ob $ f_y=g_x $. (hier gilt 2y=2y, also richtig)
Wenn dem so ist, dann berechnest du die Stammfunktion $ F $, für die gilt $ \frac{d}{dx}F=f $ und $ \frac{d}{dy}F=g $. (Du machst genau das gleiche wenn du das Potential von einem Vektorfeld berechnest...)
Raus kommt $ F(x,y)=xy^2-7x+c $. Alle Lösungen $ y $ sind implizit durch die Gleichung $ xy^2-7x=c $ gegeben. Das könnte man dann noch nach y auflösen... aber es sollte reichen wenn man nur F(x,y)=c hinschreibt!
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- Ja
- Das ist ja was ganz anderes, da musst du einfach nur die Stammfunktion finden. Wurde in einigen Übungen behandelt.
oh zu langsam....
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Lautet die Lösung nicht F(x,y) = xy^(2) - 7x + xy^(2) + C sprich F(x,y) = 2xy^(2) - 7x + C ???
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nein. Du darfst die beiden Teile nicht addieren!
Außerdem brauchst du ja nur nachrechnen: 2xy^2-7x nach "x" ableiten gibt 2y^2-7. => der zweier is falsch!
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wie jetzt? :o ...nochmal von vorne ... was sind die schritte zur berechnung dieser exakten gewöhnlichen DGL erster Ordnung y^(2) - 7 + 2xyy' = 0 sry für meine unverständlichkeit...
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du musst die Stammfunktion berechnen...
y^2-7 ist die Ableitung nach x, also ist die passende Stammfunktion xy^2-7x+c_1 (wobei in dem c hier noch y vorkommen kann) 2xy ist die Ableitung nach y, also ist die passende Stammfunktion xy^2+c_2 (wobei in diesem c noch x vorkommen kann)
Heißt instgesamt schaut die Stammfunktion so aus: xy^2 -7x+c
(im c_2 steckt halt noch das -7x drinnen)
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mir ist ja alles klar ausser wieso die stammfunktion xy^2 -7x+c lautet ... wieso nicht (xy^2-7x+c_1) + (xy^2+c_2) ???
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ahso...
das liegt daran, dass $ y $ eigentlich ein $ y(x) $ ist. Wir suchen also eigentlich die Funktion $ F(x,y(x)) $. Wenn man die ableitet kommt man auf die Form $ F_x+F_y\cdot y' $.
Ich kann das nicht so wirklich gut erklären... vielleicht solltest da einfach mal in eine Sprechstunde von einem Tutor schauen.
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wie hast du es den jetzt nur rein rechnerisch ermittelt? jetzt mal die theorie beiseite gelegt. Du hast ja vorher gemeint dass es genau so wie mit vektorfeldern ist ... da gibt es ja einen algorithmus (ersten ausdruch nach x integrieren, ergebnis nach y ableiten, mit zweiten ausdruck gleichsetzen ... usw)
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is hier genau das gleiche...
f ist die Ableitung nach x, also der obere Eintrag im Vektorfeld. g ist die Ableitung nach y, also der untere EIntrag im Vektorfeld.
y^2-7 nach x integrieren => xy^2-7x +c(y) nach y ableiten => 2xy+c'(y) mit g gleichsetzen =>2yx+c'(y)=2yx => c'(y)=0 => c(y)=c ==> F(x,y)=xy^2-7x+c
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NUR weiss ich nicht wie ich die theoretische Prüfungsfrage
"Wie löst man eine exakte Differentialgleichung?"
beantworten sollte :D
Lukas @DaPoLdIAutor
Wirtschaftsingenieur... · Technische Universit...
Klingt einleuchtend. Danke!!!
Nur um sicher zu gehen dass ich es verstanden hab. Wenn ich jetzt zB das selbe Bsp hab nur mit folgender allg, Lösung:
y(x) = C1e^(-2x) + C2e^(3x)
Dann ist mein p= -1 und mein q= -6
korrekt?