Forum / Betriebswirtschaftliche Optimierung / 2.Hausübung 2015

Ja genau einmal nach x1 x2 und lambda ableiten und dann lösen Lx1: -50+2x1+192(lambda)-8(lambda)x1 Lx2: -50+2x2+50(lamdba)-2*(lambda)x2 Llambda: 64-4(24-x1)2-(25-x2)2

Aus Lx2 kannst du dir lambda ausrechnen =1 Dann lambda in Lx1 einsetzen x1=23,666 Dann in Llambda lambda einsetzen und quadratische Lösung ausrechnen.

Hoffe das stimmt so aber wie es dann weiter gehen soll bzw. was die Min./Max. sind haben wir noch nicht rausgefunden.

Ja stimmt, danke für die Hilfe. Ich hab aus dL/dx1 das x1 abhängig von Lambda ausgedrückt, aus dL/dx2 das x2 ebenfalls abhängig von Lambda und dann in dL/dLambda eingesetzt, so dass dort die Gleichung nur noch von Lambda abhängt. Das wird dann eine ziemlich aufwendige Gleichung aber so bin ich auf meine Lösung gekommen. Deine sieht vernünftiger aus, nur verstehe ich nicht wieso meine falsch ist?

Zweite Frage: Wenn lambda=0 ist muss man dann zeigen, dass die Determinante der Hesse-Matrix größer gleich null ist und damit ein globales Minimum vorliegt? Und welche Bedingungen muss man für Lambda ungleich null beweisen? Ist die Regularitätsbedingung die notwendige dafür und wie beweist man die? Nachdem Lambda hier größer gleich null ist kann man eigentlich schon sagen, dass es ein lokales Maximum ist oder?

Ja , also Min wäre dann bei lambda=0 und die Max. Werte entsprechend für lambda=1.

Habe ein paar wichtige Fragen: zu 2b), wie soll ich bei der Graphenzeichnung die Achsen einstellen, habe wie für Bsp 1 Mathcad verwendet, nur für die 2b) hätte ich nur 2 Achsen 2x_1+x_3>=70 und x_1+x_3>=50, das gibt mir dann aber zwei horizontale Striche in meinem x,y-Koord.Sys., welche Funktionen muss ich noch verwenden, damit das so wie in den Slides auf Seite 199 aussieht?

zu 2g), reicht es wenn wir den code passend für die aufgabe umgeschrieben haben und nur die lösung als antwort definieren oder sollen wir das als zweites codefile mit dazu geben?

kann jemand noch helfen wie man auf 2h) kommt, wissen nicht weiter?

und, bei dem DualLP.R file von Tiss steht in der ersten Zeile library(lpSolve), sollen wir das drin lassen oder rauslöschen?

Ja , also Min wäre dann bei lambda=0 und die Max. Werte entsprechend für lambda=1.

Habe ein paar wichtige Fragen: zu 2b), wie soll ich bei der Graphenzeichnung die Achsen einstellen, habe wie für Bsp 1 Mathcad verwendet, nur für die 2b) hätte ich nur 2 Achsen 2x_1+x_3>=70 und x_1+x_3>=50, das gibt mir dann aber zwei horizontale Striche in meinem x,y-Koord.Sys., welche Funktionen muss ich noch verwenden, damit das so wie in den Slides auf Seite 199 aussieht?

zu 2g), reicht es wenn wir den code passend für die aufgabe umgeschrieben haben und nur die lösung als antwort definieren oder sollen wir das als zweites codefile mit dazu geben?

kann jemand noch helfen wie man auf 2h) kommt, wissen nicht weiter?

und, bei dem DualLP.R file von Tiss steht in der ersten Zeile library(lpSolve), sollen wir das drin lassen oder rauslöschen?

Wenn ich das richtig verstehe, versuchst du das primale Programm grafisch darzustellen, es ist aber nach dem dualen gefragt und das ist auch wesentlich einfacher weil es nur zwei Variablen hat. Im dualen Programm hat man dann die Funktion und drei NB welche alle nur von my und lambda abhängen und somit ganz einfach dargestellt werden können.

Ich hab den Code für 2g im selben R-File wie den Rest, wie man es macht ist aber vermutlich egal.

Bei 2h ist nur nach den optimalen Bewertungen von my und lambda gefragt, also wie eine Einheit davon bewertet wird. Das gibt dir R direkt aus (2€ bzw. 2,25€ für g)).

Soweit ich das verstanden habe, muss das library(lpSolve) drin bleiben. Bei mir funktioniert es ohne dem nicht.

Kann mir jemand noch bei den notwendigen und hinreichenden Bedingungen fürs erste Beispiel weiterhelfen? Was will er da hören, bzw. wie beweist man das korrekt?

Hey, danke für die Antwort erstmal!

Für die hinreichenden Bedingungen musst du eig. nur noch schaun wie es mit lambda ungleich null aussieht, einsetzten ausrechnen(soweit haben wir das über kuhn-tucker aus den slides interpretiert)

Jup, meine auch das duale, nur wissen wir nicht welche funktionen wir dafür verwenden sollen, kannst du mal deine auflisten?!

2g) ok auf 2,25 komme ich aber woher bekommst du 2€?

Hey, danke für die Antwort erstmal!

Für die hinreichenden Bedingungen musst du eig. nur noch schaun wie es mit lambda ungleich null aussieht, einsetzten ausrechnen(soweit haben wir das über kuhn-tucker aus den slides interpretiert)

Jup, meine auch das duale, nur wissen wir nicht welche funktionen wir dafür verwenden sollen, kannst du mal deine auflisten?!

2g) ok auf 2,25 komme ich aber woher bekommst du 2€?

Du musst nur die Funktion und NB umformen und dann zeichnen. Angenommen du formst auf my um, ist eine Funktion my=(10-lambda)/2 [NB1]; my=12-3lambda [NB2]; my=6-lambda [NB3] und my=(K-50lambda)/70. Und für lambda nimmst du dann Werte von zB 0-10 an und berechnest für jedes lambda das entsprechende my für alle Funktionen.

Der R-Code gibt bei mir für 2b) für lambda 2€ aus (für my 4€). optimale Bewertung der Ressourcen EUR my 4 lambda 2

min. Kosten: 380 usw.

Meinst du ich muss zeigen, dass dL/dlambda=g(x*)=0 ist als hinreichende Bedingung? Und was ist die notwendige?

Unser Code zur 2. HÜ.

#------------------------Beispiel 2------------------------
#(a)&(b)
#Duales Programm lösen 
#Koeffizienten der Zielfunktion
	obj <- c(70,50)
#Raumbeschränkung
	lhs <- matrix(c(2,1,1,3,1,1),nrow=3,byrow=TRUE)		#Zeilenweises einlesen
	rhs <- c(10,12,6)
	dir <- c("<=","<=","<=")
#Berechne die Lösung
	sol <- lp("max",obj,lhs,dir,rhs,compute.sens=TRUE)

		#sol$objval
		#sol$solution
		#sol$duals

#(b)
curve((-5/7)*x+(4*(5/7)+2), from=0, to=6, col="orange",xlab="mü",ylab="lambda")		#Kostenfunktion
curve(10-2*x, from=0, to=6, add=TRUE, col="green")							#NB1
curve((12-x)/3, from=0, to=6, add=TRUE, col="red")							#NB2
curve(6-x, from=0, to=6, add=TRUE, col="blue")								#NB3
abline(v=sol$solution[1], col="black") 									#vertikale Linie bei 4	
abline(h=sol$solution[2], col="black") 									#horizintale Linie bei 2
title(main = list("(b)", cex=1.5, col="black", font=3))						#Titel des Diagramms
box()															#Box mit Legende
cols=c("orange","green","red","blue")									
legend(x="topright",inset=0.005,legend=c("Kostenfunktion: Orange","NB1: Green","NB2: Red","NB3: Blue"),col=cols,lwd=6,bg="skyblue")
axis(1,at=sol$solution[1]) 		#Beschriftung an der horizontalen Achse bei 4
axis(2,at=sol$solution[2])  		#Beschriftung an der horizontalen AChse bei 2
 
#(c)
cat("(c) Die Wöchentlichen Kosten die Herr X zu tragan hat betragen:",sol$objval,"€.\n")

#(d)
cat("(d) Herr X wird Präparat A&C kaufen, nicht jedoch Präparat B.\n") 

#(e)
cat("(e) Herr X wird pro Woche",sol$duals[1],"Stk. von Präparat A,",sol$duals[2],"Stk. von Präparat B und",sol$duals[3],"Stk. von Präparat C erwerben.\n") 

#(g) hinzukommen eines Präparats D 
#Neues Duales Programm lösen
#Koeffizienten der Zielfunktion
	obj.g <- c(70,50)
#Raumbeschränkung
	lhs.g <- matrix(c(2,1,1,3,1,1,4,0),nrow=4,byrow=TRUE)
	rhs.g <- c(10,12,6,15)
	dir.g <- c("<=","<=","<=","<=")
#Berechne die Lösung
	sol.g <- lp("max",obj.g,lhs.g,dir.g,rhs.g,compute.sens=TRUE)

		#sol.g$objval
		#sol.g$solution
		#sol.g$duals

ersparnis <- (sol$objval-sol.g$objval)
cat("Herr X würde beim hinzukommen von Präparat D",sol.g$objval,"€ ausgeben verglichen zur Option ohne Präparat D ergibt das eine Erparnis von",ersparnis,"€.\n")

#(h)
cat("(h) Herr X kann durch das Reduzieren von lambda Wirkstoff",sol$solution[2],"€ pro Einheit sparen.\n") 

\n~~~

Hallo, hat vielleicht noch jemand von euch die Angaben (Fragestellung) zu dieser HÜ ? Danke

Hi, es geht um die aktuelle Hausübung 2 (leider kein ich nichts Neues posten):

Ich bin wirklich verwirrt von Aufgabe 1 und der Preisabhängigkeit. Zwar bekomme ich etwas bei a.), jedoch weiß ich nicht, wie ich bei b.) vorgehen kann. Bei a bekomme ich (durch einfaches Einsetzen, ohne Garantie): x1 = 22.25 x2 = 32.5 p1 = 61.5 p2 = 39.375 wie geht man bei b vor? Wie schauen die NB aus? Muss man p1 durch p2 darstellen? bei x1 und x2 handelt sich um ein und dasselbe Produkt, jedoch von unterschiedlichen Mengen dieses Produktes. Ich habe auch mit "gemeinsamer Nachfrage" (x1 + x2) versucht und komme einfach zu nichts. Danke

Hallo @ilber kannst du bitte vlt deinen Rechenweg von 1 Posten? kommen nicht auf ein gescheites Ergebnis. bei 2 sind wir gerade dran.

lg

Hallo @Manuel, siehe angehängtes Dokument, Aufgabe 4.2. Hoffe, das hilft. Man muss alles in Preis-Absatz-Relationen umwandeln. Somit komme ich auf andere Ergebnisse. Die alten sind falsch. Bei Aufgabe 2: jegliche Ideen sind willkommen.

P.S. das Problem ist, dass die aktuelle Aufgabe ein Produkt (und nicht zwei) auf zwei Märkten (und nicht einen) beschreibt. Für mich ist es nicht ganz klar, wie man mit der Segmentierung und der "Preisabhängigkeit" vorgehen kann (es ist nur verwirrend).

@ilber Also stimmen die Ergebnisse aus deinem vorherigen Post nicht mehr?

Die Ergebnisse hängen davon ab, wie man die Mengen x1 und x2 in Preise umwandelt und ich denke, dass ich Rechenfehler gemacht habe - ich werde jetzt alles neu berechnen (ähnlich zu der Lösung aus dem PDF) und poste dann meine Ergebnisse.

P.S. und die Ergebnisse (ohne Garantie): x1 wird wie folgt dargestellt: p1 = 58.5 + 1/2p2 - x1 durch Einsetzen von p1 in Segment 2 bekommt man für p2: p2 = 83 - 1/2x1 - x2

durch Einsetzen von p2 in Segment 1 bekommt man für p1: p1=100 - x1 - 1/2*x2

und dann: G = U - K = p1.x1 + p2x2 - 15x1 - 15*x2

... x1=34, x2= 7, p1=62.5, p2 = 59

bei b) lauten meine NB: NB1: x2 - 30 >= 0 NB2: 41 - x1 - x2 >=0

Preisdifferenz habe ich nicht explizit behandelt. Wie müsste diese NB dann aussehen?

hi.. @IIber ... bins genauso wie du angegangen und denk das auch das so richtig is ... nur glaubst das bei der Gewinnfunktion bei punkt a du die beiden Segmente "zusammen" nehmen musst ?? ich hätts grade mit 2 Gewinnfunkltionen probiert... also pro segment eine aufgestellt... ich würd halt auf sehr viel niedrigere Preise so kommen..

beste grüße

Hi @Martin: Der Grund für eine gemeinsame Gewinnfunktion ist der Satz (aus der Angabe): "Das Unternehmen will die Preise in den beiden Segmenten so setzen, dass der Gesamtgewinn maximiert wird..". Gesamtgewinn bedeutet für mich, dass Gewinn aus beiden Segmenten (gleichzeitig) maximiert werden muss. Wenn man pro Segment alles berechnen muss, ist eine Frage der Semantik. Wiederum ist die Angabe nicht 100% klar. Außerdem redet man von einem Produkt nur durch zwei Märkten/Segmenten geteilt.

Hat jemand Ideen für Aufgabe 2: Müssen die Preise den DBeiträgen entsprechen? Wie muss man die Aufgabe hier verstehen?