Forum / Mathematik 2 / DGL 2. Ordnung
DGL 2. Ordnung
Könnte mir jemand bei der Bestimmung der allgemeinen Lösung bei folgender DGL helfen, Ich blicke bei der ganzen Sache nämlich ÜBERHAUPT nicht durch. Ideal wäre es natürlich wenn es jemand verständlich durchrechnen und hochstellen würde.
y" - 7y' + 12y = e^(2x) sinx
Ich weiss nur dass die allgemeine Lösung GLEICH der allgemeinen Lösung der homogenen Lösung (die man mittels charakteristischer GLG bestimmen kann) PLUS der partikulären Lösung der inhomogenen Gleichung ist. Sprich y=yh + yp
aber WIE BILDE ich die PARTIKULÄRE LÖSUNG???
DANKE!
±0
Danke für die rasche Antwort!
Ja eben diese besagte ANSATZMETHODE versteh ich nicht ganz :s ...was wäre denn der Ansatz für das oben von mir genannte BSP ... vllt tu ich mir dann leichter..
+1
yp = Asin(x)e^(2x) + Bcos(x)e^(2x)
wenn man den Ansatz hat ist es eigentlich ganz leicht: y'p & y''p bilden, dann in die linke Seite der DGL einsetzen, dann nach sin(x)e^(2x) & cos(x)e^(2x) sortieren, dann Koeffizientenvergleich machen und schließlich das erhaltene A & B in yp einsetzen.
Ergebnis: yp(x) = 1/10sin(x)e^(2x) + 3/10cos(x)e^(2x)
±0
Ist mir jetzt alles klar ausser dem ANSATZ ... das werd ich wohl noch mittels Internet in Erfahrung bringen müssen...
+1
der Ansatz ist abhängig von deiner Störfunktion! da gibt es einige "regeln" die du beachten musst. für jede störfunktion gibt es einen eigenen ansatz! hier der link mit den verschiedenen ansätzen und den dazugehörigen störfunktionen:
+1
und noch ein link wo einige bsp schritt für schritt durch gerechnet sind mit den passenden erklärungen für den jeweiligen ansatz! hat mir in ergänzung mit dem oberen link extrem geholfen!!! Partikuläre Lösung inhomogener DGLen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
±0
y" - 7y' + 12y = e^(x) sin(x) + e^(3x)
darf ich da das e^(3x) als seperate störfunktion betrachten? sprich den Ansatz Asin(x)e^(x) + Bcos(x)e^(x) PLUS Cxe^(3x) nehmen...in der tabelle find ich nämlich nix ähnliches was als störfunktion eine addition von einem sinus und der euler zahl als ansatz beschreibt...
±0
...kann man also so aufteilen?
Und noch eine Frage zu dem Ansatz von dem vorigen Bsp: y" - 7y' + 12y = e^(2x) sinx
Die Nullstellen der charakteristischen Glg sind ja 3, und 4. Laut der http://www-hm.ma.tum.de/ss06/bv2/aufgaben/Zusatzblatt1_LinDGL_KonstKoeff.pdf Seite muss man den Ansatz nehmen wo das "x" dazu multipliziert wird, da "alpha + i beta" in dem Fall 3 ergeben. Und 3 ist eine Nullstelle. Du aber hast den Ansatz genommen wo "alpha + i beta" keine Nullstellen sind...?
±0
Puh das mit "alpha + ibeta" seh ich jetzt zum ersten Mal, aber hast recht... Würd mich auch interessieren. Mit meinem Ansatz kommt man aber auf jeden Fall auf die richtige Lösung, siehe Wolframalpha.
Wie lautet der Ansatz für die Partikulärelösung von y'' + 4y = sin(x) + x^2cos(2x) ?
+1
um auf die frage von daPoldi vorher zurück zu kommen warum zum Ansatz ein"x" multipliziert wird: das hat den grund das die lösung des homogenen teils (nämlich 3) auch einmal in der störfunktion vorkommt --> bedeutet teilweise resonanz was dir das alpha+beta*i sagt!! weil eben 3 eine lösung der homogenen gleichung ist und auch in der störfunktion vorkommt musst du den ansatz mit x multiplizieren anderes bsp: angenommen die homogene lösung beinhaltet lambda1=3 und lambda2=3 (also zweimal dasd Ergebnis 3), dann musst du zum ansatz x^2 multiplizieren --> resonanz konkretes bsp dazu hab ich jetz auf die gachn leider keins dazu, aber ich hoffe ich konnte weiterhelfen
+3
Wie lautet der Ansatz für die Partikulärelösung von y'' + 4y = sin(x) + x^2cos(2x) ?
der ansatz dazu lautet: Asin(x)+Bcos(x)+(Cx^2+Dx+E)sin(2x)+(Fx^2+Gx+H)cos(2x) das hat den grund weil der multiplikator vorm cos ja x^2 lautet -->= polynom 2.ordnung ein bsp dazu wos vil leichter nachzuvollziehen ist wäre: y''-y'-2y=x*sin(x) --> Ansatz: (ax+b)cosx + (cx+d)sinx
±0
y" - 7y' + 12y = e^(2x) sinx
also lautet der Ansatz zu dem Beispiel (A*e^(2x)sinx + Be^(2x)*cosx)*x ?
+1
naja... wenn das Fundamentalsystem aus $ e^{3x} $ und $ xe^{3x} $ besteht, muss 3 eine doppelte Nullstelle vom charakteristischen Polynom sein.
3 Doppelte Nullstelle bedeutet $ (x-3)(x-3)=x^2-6x+9 $.
Das ist gleichbedeutend mit der DG $ y''-6y'+9y=0 $
Edit: Der Zusammenhang wird ein bisschen klarer wenn man sich nicht gerade doppelte Nullstellen anschaut:
zB: $ y''-y'=0 $. Wir wählen den Ansatz $ y=e^{\lambda x} $. also $ y''=\lambda^2e^{\lambda x} $ und $ y'=\lambda e^{\lambda x} $ In die DG einsetzen: $ (\lambda^2-\lambda)e^{\lambda x}=0 $ Da $ e^{\lambda x} $ nicht null werden kann muss gelten $ 0=\lambda^2-\lambda=\lambda(\lambda-1) $... also $ \lambda $ ist genau die Nullstellen des Polynoms!
Wenn du mehrfache Nullstellen hast kommen halt entsprechend noch x^k dazu
Ralph @Ralph
Wirtschaftsingenieur... · Technische Universit...
Mit der Ansatzmethode! Ist hier an einem ähnlichem Beispiel durchgerechnet: Anmelden | Facebook und hier wären noch weitere Beispiele mit Lösungen: http://www-math.upb.de/~mathkit/Inhalte/DGLen/data/manifest10/Lsg_inhomDGL_2_Ord_konst_Koeff.html