Forum / Mathematik 2 / Extrema im Inneren eines Gebiets berechnen

1. Gebiet zeichnen.
2. Extremstellen der Funktion suchen, indem man die Funktion nach x und y ableitet und Null setzt.
3. Schauen ob die gefundenen Extreemstellen im inneren(!) des Gebiets sind

Wenn man sich die Ränder auch noch anschauen muss (hier nicht!): 4a) Geraden: Auf dem Rand y=x wird die funktion zB zu $ 5+7x-3x^2 $. Also bei 7/6 gibts ein maximum. 4b) Ecken: Es können natürlich auch in den Ecken Extreemstellen entstehen. Da muss man halt schaun wie sich die Funktion an den angrenzenden Rändern verhält

Da gibts halt einfach mehrere Extreemstellen... d.h. du musst ein paar Fallunterscheidungen machen um auf die Lösungen zu kommen.

$ f_x(x,y)=-2 e^{-x^2-y^2} (-1+2 x^2+x y)=0 $. Da aber $ e^{\dots}\neq 0 $ muss gelten $ (-1+2 x^2+x y)=0 $. $ f_y(x,y)=e^{-x^2-y^2} (1-4 x y-2 y^2)=0 $. Also $ (1-4 x y-2 y^2)=0 $

und jetzt musst du halt nach passenden x,y suchen dass beide Gleichungen erfüllt sind

Und wie zeige ich mathematisch korrekt, dass bei 7/6 ein Maximum ist? Mit kleineren und größeren Werten herumprobieren ist zwr anschaulich, aber ob das den Prof überzeugt, glaub ich nicht.

Werte einsetzten, oder zweite Ableitung ist kleiner als 0

Mit dem Herumprobieren meinte ich ja Werte einetzen und das mit der zweiten Ableitung gilt ja nur für innere Extremstellen. Bei (7/6,7/6) ist die Exremstelle jedoch am Rand.

Wenn der Funktionswert am Rand $ 5+7x-3x^2 $ ist, dann kannst dein Schul-Mathe-Wissen auf die Funktion anwenden. Also erste Ableitung null setzten => Extremum Zweite Ableitung => Max oder Min

Das geht einfach so, wenn die Funktion nur noch von einer Variable abhängt?:-o Und bei der geraden x=2 bleibt einem dann nur das Probieren nehm ich an...

dann hast $ f(y)=7+4y-2y^2 $.

das hat ein Max bei y=1, also (2,1) ist ein Max

Meine Güte, das ist ja wirklich so leicht. Die Punkte hatte ich ja schon alle, aber das Zeigen...

Hey, danke. Du hast mich erleuchtet:-D