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Vektoren - Basistransformation
Hallo!
Leider habe ich diese Basistransformation (wie Bsp. 20, 2. HÜ) noch immer nicht ganz verstanden :( Könnte mir diese nochmal wer erläutern?
zB.: Vektor (1,2,1) bezüglich Basis (2,1,0), (0,-1,0), (1,0,1)
a) darstellen dieses Vektors bezüglich Standartbasis (also (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), oder?) b) -"- Basis (1,2,0), (0,2,0), (0,2,1) (="neue Basis)
Ich hätte es so gemacht:
a) (x,y,z)=1*(2,1,0) + 2*(0,-1,0) + 1*(1,0,1)
--> daraus erhalte ich x, y und z (Gleichungssystem lösen)
b) ich nehmen den Vektor (x,y,z) von a) und schreiben an
"neue Basis" * (x_1, y_1, z_1) = (x,y,z)
--> neue Basis invertieren --> zu (x,y,z) multiplizieren --> erhalte (x_1, y_1, z_1) --> fertig
Würde das so stimmen?
lg michi
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Hallo!
ja der erste Punkt stimmt! e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1) x=1b1+2b2+1b3=1(e1+2e2)+2*(-1e2)+1(1e1+1e3)
Wie kommt man auf diese Zerlegung? Du weißt das B die folgende Zerlegung in der Standardbasis hat: b1=1e1+2e2 b2=-1e2 b3=1*e1+1e3
So du hast den Vektor x=(2,0,1) erhalten
Der zweite Punkt ist ein wenig mühsamer. a1=(-1,2,0) a2=(0,2,0) a3=(0,2,1)
Wieder dieses System in Standard vekoren zerlegen: a1=-1e1+2e2 a2=-2e2 a3=2e2+1e3 --> Dieses System invertierst du mit Gauß dann bekommst du:
e1=-1a1+1a2 e2=1/2a2 e3=-1a2+1*a3
So du weißt ja das der Vektor x aus 2 mal dem e1 und 1 mal dem e3 besteht. Also die Ergebnisse von vorhin reinmultiplizieren. Dann hast du -2a1+1a2+1a3 -> a-2(-1,2,0) + 1*(0,2,0) +1*(0,2,1) Das Ergebnis der letzen Rechnung ist x in der Basis A.
Ich hoffe ich konnte dir helfen. Lg Linus
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Die Transformationen sind nicht so schwer wenn man sich merkt, dass die Matrix mit den Basisvektoren immer von der Basis in die Standardbasis transformiert!
Sei B die Basis die wir da gegeben haben:
<img src="http://latex.univie.ac.at/?{\left(\begin{array}{ccc}1%20&%200%20&%201\2%20&%20-1%20&%200\0%20&%200%20&%201\end{array}\right)x_{B}=x_{E}\qquad\left(\begin{array}{ccc}1%20&%200%20&%201\2%20&%20-1%20&%200\0%20&%200%20&%201\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\2\1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\0\1\end{array}\right)=2\left(\begin{array}{c}1\0\0\end{array}\right)+0\left(\begin{array}{c}0\1\0\end{array}\right)+1\left(\begin{array}{c}0\0\1\end{array}\right)}" /> <img src="http://latex.univie.ac.at/?{x_B}" /> sind hier die Koordinaten bzgl der Basis B <img src="http://latex.univie.ac.at/?{x_E}" /> sind hier die Koordinaten bzgl der Standardbasis E
Die Inverse Matrix macht natürlich genau das Gegenteil.
Wenn wir sagen F ist die Basis auf (b) dann gilt:
Die Matrix mit F als Spalten transformiert von F nach E (was wir hier nicht brauchen), ABER die Inverse davon transformiert die Koordinaten bzgl E auf Koordinaten bzgl F:
<img src="http://latex.univie.ac.at/?{x_{F}=\left(\begin{array}{ccc}-1%20&%200%20&%200\2%20&%202%20&%202\0%20&%200%20&%201\end{array}\right)^{-1}x_{E}=\left(\begin{array}{ccc}-1%20&%200%20&%200\2%20&%202%20&%202\0%20&%200%20&%201\end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{c}2\0\1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2\1\1\end{array}\right)}" />
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Formeln mit LaTeX anzeigen
@Fabian, du kannst TeX-Code auch einfach gleich hier im Forum eingeben -> siehe hier ganz unten.
Der BB-Code lautet TeX.
Grüße Alex
PS: Bald gibts auch einen eigenen Formeleditor mit erweiterten
Fabian @Fabian_fstm
Technische Mathemati... · Technische Universit...
ja, das stimmt so.