Forum / Mathematik 3 / Komplexe Fourier-Reihe
Komplexe Fourier-Reihe
Hallo! Bei der ersten UE, Bsp. 9 rechnen wir ja eine komplexe Fourier-Reihe aus. Dabei habe ich in meinen Unterlage die Formel stehen:
$ c_k=\dfrac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}{xe^{-kx}dx $
wie kommt man zu dieser Formel und warum habe ich vor dem Integral $ \dfrac{1}{2\pi} $ und nicht nur $ \dfrac{1}{\pi} $?
Bsp. 9: Setzen Sie die Funktion $ f_{(x)} = x $ vom Intervall $ [0, \pi] $ ungerade fort und entwickeln Sie die so erhaltende Funktion in eine komplexe Fourier-Reihe.
lg Mike
±0
Naja, das Problem ist, dass du nicht anders vorgehen kannst als ich, weil ich ja gar nichts habe. ;) Ok, warum jetzt $ \dfrac{1}{2\pi} $ steht, habe ich soweit herausgefunden, da lt. Skript
$ cos(kx)=\dfrac{1}{2}e^{ikx}+\dfrac{1}{2}e^{-ikx} $
$ sin(kx)=\dfrac{i}{2}e^{ikx}+\dfrac{i}{2}e^{-ikx} $
kann man $ \dfrac{1}{2} $ herausheben.
Aber jetzt zum Hauptproblem: Ich habe eine ungerade Funktion, somit ist $ a_k=0 $ und $ b_k=\dfrac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}{f_{(x)}sin(kx)dx} $. Ersetzte ich jetzt den $ sin(kx) $ durch den oben genannten Ausdruck sollte doch eigentlich:
$ c_k=\dfrac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}{xi(e^{-ikx}+e^{ikx})dx $
stehen, oder?
±0
Ich habs jetzt mal ganz auf die Schnelle, auf meine Art gerechnet. Ich hoff, dass ich keinen dummen Fehler gemacht hab... Hast du ein Ergebnis? Ich war leider nicht in der ersten Übung.
- 1 Download Nur für Studenten!
±0
Hm, okey. Sobald ich zuhause bin, werd ich die Mitschrift von der ersten UE einscannen. Das ist dann eigentlich alles, was ich an "Lösungen" habe.
Aber das Ergebnis sieht ziemlich ähnlich aus. Warum hast du nach deiner Berechnung von $ b_n $ am Ende auf einmal ein $ i $ stehen?
±0
Das ist nur ein Strichpunkt ;) Ich find meine Methode auf jeden Fall unkomplizierter...
±0
Aso. :D Hm, ist halt die Frage, ob das so passt. Da du ja eigentlich keine komplexe Reihe entwickelt hast, sondern eine "normale" Reihe und diese dann mit dem komplexen Ansatz ausgedrückt hast. Aber keine Frage, dein Lösungsweg ist um einiges einfacher.
±0
Habe eine Frage bzgl. dem Schritt von
$ b_n=\dfrac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}{f_{(x)}sin(nx)dx} $
auf
$ b_k=\dfrac{2}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi}{f_{(x)}sin(nx)dx} $
Wieso macht man das?
Bzw. wo kommt die 2 in $ \dfrac{2}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi}{f_{(x)}sin(nx)dx} $
mfg
±0
Der Integrand ist symmetrisch, daher ist das Ergebnis zwei mal dem zweiten Teilintegral. So kann man sich oft das berechnen zweier Integrale sparen.
±0
Ok danke für die schnelle Antwort. In der Angabe steht ja: setzen Sie die Funktion f(x) = x vom Intervall [0,$ \pi $] ungerade fort. Deshalb wird dann im Integral anstatt [$ -\pi,\pi $] [0,$ \pi $] gewählt?
±0
Hm nein. Dass die Funktion ungerade fortgesetzt wird, bedeutet ja nur, dass die Funktion wie $ f_{(x)}=x $ von $ [-\pi,\pi] $ aussieht. Da jedoch das gleiche Ergebnis herauskommt, wenn du die Fourier-Reihe von $ [-\pi,\pi] $ oder eben $ 2\cdot[0,\pi] $ löst, ist dann egel, wobeis eben von $ [0,\pi] $ oft einfacher zu lösen ist.
Ralph @Ralph
Wirtschaftsingenieur... · Technische Universit...
Ich würde ganz anders vorgehen: erst wie üblich ungerade fortsetzen und dann in eine komplexe Fourierreihe entwickeln. Ich denke so ist es am einfachsten. Ich glaub so hat der Ramharter das in seinem Repetitorium auch gemacht, nur hat er da meine Meinung einen großen Fehler drin.