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Rauchring 1.8, Vergleich der Lösung
Hier das Ergebnis für Beispiel 1.8 "Rauchring" aus der Übungssammlung, gerechnet mit Polarkoordinaten: $\vec{u}(\vec{b})=\begin{pmatrix} 0, \ -\frac{\Gamma}{4 \pi} \frac{b- d/2}{\left( b^2 + d^2/4 \right)^{3/2}}, \ 0 \end{pmatrix}^T$ für $\Gamma<0$. Kommt jemand auf das gleiche Ergebnis?
EDIT: siehe unten, habe die falsche Ebene für den Rauchring angenommen dementsprechend falsches Ergebnis. Komme jetzt auf das gleiche, wie im PDF unten.
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@stefan ich komme auf das selbe ergebnis. Das vorzeichen von der Zirkulation ist mir jedoch nicht ganz klar. Falls im Bsp die Zirkulation schon vom Haus aus negativ ist, soll in der Gleichung zum Schluß nicht ein negativer Ausdruck für die Geschwindigkeit rauskommen? ...aber falls man nachdenkt, laut dem Bild soll die Geschwindigkeit eh in der pos. Z richtung zeigen...
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Habe das Beispiel mit dem Übungsbeispiel 29 vom letzten Jahr verglichen, dort ist die Zirkulation umgekehrt eingezeichnet und das Ergebnis ist dort negativ. Ist aber auch gut möglich, dass ich mal ein Vorzeichenfehler gemacht habe.
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Hab es jetzt auch noch mal gerechnet und komme nicht mehr auf das Selbe, denn ist nicht $|\vec{r}-\vec{r}'| = \sqrt{(b+d/2 sin(\phi))^2 + (d/2)^2 cos(\phi)^2}$? Und dementsprechend ein schwierigeres Integral.
EDIT: Ah, jetzt ist mir der Fehler klar. Der Rauchring liegt in der $xy$-Ebene, nicht in der $zx$-Ebene. Das erklärt einiges... Das Ergebnis ist dann: $\vec{u}(\vec{b}) = \frac{\Gamma d^2}{8 (\frac{d^2}{4} +b^2)^{3/2}} \begin{pmatrix} 0 , 0 , 1 \end{pmatrix}^T $ mit $\vec{r}=\vec{b}= \begin{pmatrix} 0 , 0 , -b \end{pmatrix}^T$
Stefan @sacca
Maschinenbau · Technische Universit...
Habe das Ganze so gelöst.