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Beispiel 26 (oder 27)?!?

EDIT: Beim schreiben des Beitrags habe ich meinen Fehler gefunden. Lasse ihn für andere, die auch Probleme mit dem Bsp haben stehen.

Hallo,

Ich komme hier nicht weiter. Es geht um das Beispiel mit der partiellen DGL, das wir in der Übung nicht durchgenommen haben. Ich hab das Skript vom Vorjahr und bei mir ist es Bsp 27. vl ist es bei jemand anderen 26 oder 28...

Angabe ist: $x u_x + 2 y u_y = 0$

Wie komme ich hier auf eine Lösung? Rauskommen müsste $\frac{y}{x^2}$, was aber bei mit nicht rauskommt...

Mein Vorgehen:

$\dot{x} = \frac{dx}{dt}= x$ $\dot{x} = \frac{dy}{dt}= 2y$ Quotient der beiden Gleichungen bilden: $\frac{\frac{dx}{dt}}{\frac{dy}{dt}} = \frac{x}{2y}$ $dt$ kürzt sich weg, man erhält $\frac{dx}{dy} = \frac{x}{2y}$ Trennen der Veränderlichen: $\frac{dx}{x} = \frac{dy}{2y}$ $\int\frac{dx}{x} = \int\frac{dy}{2y}$ (... beim schreiben des Beitrags fiel mir hier mein Fehler auf!... ) $\ln{x} = \frac{\ln{y}}{2} + c_1 = \ln{\sqrt{y}} + c_1$ Exponentialfunktion links und rechts anwenden: $x = \sqrt{y} \cdot c_2$ mit $c_2 = e^{c_1}$ Umformen: $c = {c_2}^2 = \frac{x^2}{y}$

Lösung ist also eine Funktion $u(t) = u(x(t),y(t)) = f(t) = f(\frac{x^2}{y})$ (In der Lösung ist der Quotient umgekehrt... kommt einfach darauf an auf welcher Seite man beim Integrieren die Konstante hinzufügt...)

Check: $u_x = \frac{\partial}{\partial{x}}f(\frac{x^2}{y}) = f ^{\ \prime}(\frac{x^2}{y})\cdot\frac{2x}{y}$ $u_y = \frac{\partial}{\partial{y}}f(\frac{x^2}{y}) = f ^{\ \prime}(\frac{x^2}{y})\cdot\text{-}\frac{x^2}{y^2}$ Einsetzen... $f ^{\ \prime}(\frac{x^2}{y})\frac{2x}{y} \cdot x+ f ^{\ \prime}(\frac{x^2}{y})\cdot\text{-}\frac{x^2}{y^2} \cdot 2y = 0$ $f^{\ \prime}(\frac{x^2}{y})\frac{2x^2}{y} - f ^{\ \prime}(\frac{x^2}{y})\frac{2x^2}{y} = 0$

Stimmt also... ist eine Lösung.

Punkte b) und c) hab ich mir noch nicht angesehen... füge ich vl. noch hinzu.

Chris

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