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Oberflächenintegrale
mal eine ganz blöde frage...wie bekomm ich bei gegebener fläche einen normalvektor auf diese fläche?
bzw wie würde der normalvektor in dem konkreten fall aussehen?
F1 = {(x,y,z): x² +y² +z² = 4, z >= 0}
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hast du vll das 33er bsp aus der 6./7. übung? bei mir kommt da nur blödsinn raus...
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wenn das das Bsp von oben war, denk ich schon dass ichs hatte, kopier mal die konkrete fragestellung rein dann kann ich dir vlt weiterhelfen. War das Oberflächenintegral allgemein zu berechnen oder mithilfe eines gewählten Integralsatzes?
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33.) Bestätigen Sie den Gauß'schen Integralsatz am Beispiel der Achtekugel A:= {(x,y,z): x²+y²+z² >= 0, x,y,z => 0} und des Vektorsfeldes V=(z², xy, xyz)
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Erinner mich an das Bsp, war echt mühsam, dir is aber auf jedn Fall ein Fehler unterlaufen! Da du den Satz von Gauß anwendest und das Dreifachintegral leichter mit Kugelkoordinaten zu rechnen ist transformierst du es auf Kugelkoordinaten, hierbei hast aber vergessen die Funktionaldeterminante reinzuschreibn, da es sich ja um eine Transformation und nicht um eine Parametrisierung handelt ;)
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ja das is mir dann auch aufgefallen...wärs richtig wenn ich die fdet nicht vergessen hätt? also passt das schema?
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vom schema her is mir eig kein großer fehler aufgfalln wobei ich auf die genauen umformungenim Integral natürlich jetzt nicht gschaut hab sondern nur grob überflogen.
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hab eine frage noch zum integralsatz von stokes.. wenn ich eine kugel mit dem integralsatz berechne, kann ich ja auch einfach das kurvenintegral berechnen oder? nehme ich beim kurvenintegral zum parametrisieren dann die kugelkoordinaten??
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wenndu eine Kugel mit dem Integralsatz vom Stokes berechnest, schaust dir nur die Randkurve an, das heisst wenns ne Halbkugel ist is die Randkurve nur der Kreis im Ursprung ( vorrausgesetzt die Halbkugel hat mittelpunkt im Ursprung natürlich). Das heisst in dem Fall nimmst dann für die Parametrisierung X(t) = r*cost rsint wobei r natürlich aus der angabe bekannt sein muss
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ja mit dem kruvenintegral ist es schnell und einfacher (siehe bsp von der letzten VO Prüfung für die Halbkugel) es würde aber auch mit den kugelkoordinaten gehen.. allerdings ist das doch etwas mühsamer
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kann mir wer sagen was sich beim Satz von Green bzw Stokes genau ändert wenn ich um den Normalvektor n erweitere sodass aus VdO ==> Vn*dO wird was ändert sich da genau wenn ich dann das ganze inegrieren will??
Danke im voraus!
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dein normalvektor mit (0,0,1) stimmt nicht! du hast die komponenten des kreuzproduktes falsch abgeleitet.
David @david
Verfahrenstechnik · Technische Universit...
Der Normalvektor ergibt sich durch das Kreuzprodukt der beiden partiellen Ableitungen der parametrisierten Oberfläche. Sprich: In dem Fall sollte deine oberfläche eine Halbkugel + Boden(kreisförmig) sein, wobei der radius 2 ist. Das heisst du musst 2 Parametrisierungen aufstellen,für den Boden gilt O=( rcost rsint 0) (mit Grenzen 0<r<2, 0<t<2pi) für die Halbkugel gilt : O=(2sintcosp 2sintsinp 2cost) (mit grenzen 0<2pi<t 0<pi/2<p)
Um den Normalvektor für jetzt z.B: den Boden zu erhalten musst du die partiellen Ableitungen Or und Ot bilden und dann Or x Ot berechnen. Analog dazu erhält man natürlich den Normalvektor für die Halbkugel.