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Vektoren - Basistransformation
Hallo!
Leider habe ich diese Basistransformation (wie Bsp. 20, 2. HÜ) noch immer nicht ganz verstanden :( Könnte mir diese nochmal wer erläutern?
zB.: Vektor (1,2,1) bezüglich Basis (2,1,0), (0,-1,0), (1,0,1)
a) darstellen dieses Vektors bezüglich Standartbasis (also (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), oder?) b) -"- Basis (1,2,0), (0,2,0), (0,2,1) (="neue Basis)
Ich hätte es so gemacht:
a) (x,y,z)=1*(2,1,0) + 2*(0,-1,0) + 1*(1,0,1)
--> daraus erhalte ich x, y und z (Gleichungssystem lösen)
b) ich nehmen den Vektor (x,y,z) von a) und schreiben an
"neue Basis" * (x_1, y_1, z_1) = (x,y,z)
--> neue Basis invertieren --> zu (x,y,z) multiplizieren --> erhalte (x_1, y_1, z_1) --> fertig
Würde das so stimmen?
lg michi
Hallo!
ja der erste Punkt stimmt! e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1) x=1b1+2b2+1b3=1(e1+2e2)+2*(-1e2)+1(1e1+1e3)
Wie kommt man auf diese Zerlegung? Du weißt das B die folgende Zerlegung in der Standardbasis hat: b1=1e1+2e2 b2=-1e2 b3=1*e1+1e3
So du hast den Vektor x=(2,0,1) erhalten
Der zweite Punkt ist ein wenig mühsamer. a1=(-1,2,0) a2=(0,2,0) a3=(0,2,1)
Wieder dieses System in Standard vekoren zerlegen: a1=-1e1+2e2 a2=-2e2 a3=2e2+1e3 --> Dieses System invertierst du mit Gauß dann bekommst du:
e1=-1a1+1a2 e2=1/2a2 e3=-1a2+1*a3
So du weißt ja das der Vektor x aus 2 mal dem e1 und 1 mal dem e3 besteht. Also die Ergebnisse von vorhin reinmultiplizieren. Dann hast du -2a1+1a2+1a3 -> a-2(-1,2,0) + 1*(0,2,0) +1*(0,2,1) Das Ergebnis der letzen Rechnung ist x in der Basis A.
Ich hoffe ich konnte dir helfen. Lg Linus
Die Transformationen sind nicht so schwer wenn man sich merkt, dass die Matrix mit den Basisvektoren immer von der Basis in die Standardbasis transformiert!
Sei B die Basis die wir da gegeben haben:
<img src="http://latex.univie.ac.at/?{\left(\begin{array}{ccc}1%20&%200%20&%201\2%20&%20-1%20&%200\0%20&%200%20&%201\end{array}\right)x_{B}=x_{E}\qquad\left(\begin{array}{ccc}1%20&%200%20&%201\2%20&%20-1%20&%200\0%20&%200%20&%201\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\2\1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\0\1\end{array}\right)=2\left(\begin{array}{c}1\0\0\end{array}\right)+0\left(\begin{array}{c}0\1\0\end{array}\right)+1\left(\begin{array}{c}0\0\1\end{array}\right)}" /> <img src="http://latex.univie.ac.at/?{x_B}" /> sind hier die Koordinaten bzgl der Basis B <img src="http://latex.univie.ac.at/?{x_E}" /> sind hier die Koordinaten bzgl der Standardbasis E
Die Inverse Matrix macht natürlich genau das Gegenteil.
Wenn wir sagen F ist die Basis auf (b) dann gilt:
Die Matrix mit F als Spalten transformiert von F nach E (was wir hier nicht brauchen), ABER die Inverse davon transformiert die Koordinaten bzgl E auf Koordinaten bzgl F:
<img src="http://latex.univie.ac.at/?{x_{F}=\left(\begin{array}{ccc}-1%20&%200%20&%200\2%20&%202%20&%202\0%20&%200%20&%201\end{array}\right)^{-1}x_{E}=\left(\begin{array}{ccc}-1%20&%200%20&%200\2%20&%202%20&%202\0%20&%200%20&%201\end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{c}2\0\1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2\1\1\end{array}\right)}" />
Formeln mit LaTeX anzeigen
@Fabian, du kannst TeX-Code auch einfach gleich hier im Forum eingeben -> siehe hier ganz unten.
Der BB-Code lautet TeX.
Grüße Alex
PS: Bald gibts auch einen eigenen Formeleditor mit erweiterten
Fabian @Fabian_fstm
Technische Mathemati... · Technische Universit...
ja, das stimmt so.