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Vektoren - Basistransformation

Hallo!

Leider habe ich diese Basistransformation (wie Bsp. 20, 2. HÜ) noch immer nicht ganz verstanden :( Könnte mir diese nochmal wer erläutern?

zB.: Vektor (1,2,1) bezüglich Basis (2,1,0), (0,-1,0), (1,0,1)

a) darstellen dieses Vektors bezüglich Standartbasis (also (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), oder?) b) -"- Basis (1,2,0), (0,2,0), (0,2,1) (="neue Basis)

Ich hätte es so gemacht:

a) (x,y,z)=1*(2,1,0) + 2*(0,-1,0) + 1*(1,0,1)

--> daraus erhalte ich x, y und z (Gleichungssystem lösen)

b) ich nehmen den Vektor (x,y,z) von a) und schreiben an

"neue Basis" * (x_1, y_1, z_1) = (x,y,z)

--> neue Basis invertieren --> zu (x,y,z) multiplizieren --> erhalte (x_1, y_1, z_1) --> fertig

Würde das so stimmen?

lg michi

Linus ±0

Hallo!

ja der erste Punkt stimmt! e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1) x=1b1+2b2+1b3=1(e1+2e2)+2*(-1e2)+1(1e1+1e3)

Wie kommt man auf diese Zerlegung? Du weißt das B die folgende Zerlegung in der Standardbasis hat: b1=1e1+2e2 b2=-1e2 b3=1*e1+1e3

So du hast den Vektor x=(2,0,1) erhalten

Der zweite Punkt ist ein wenig mühsamer. a1=(-1,2,0) a2=(0,2,0) a3=(0,2,1)

Wieder dieses System in Standard vekoren zerlegen: a1=-1e1+2e2 a2=-2e2 a3=2e2+1e3 --> Dieses System invertierst du mit Gauß dann bekommst du:

e1=-1a1+1a2 e2=1/2a2 e3=-1a2+1*a3

So du weißt ja das der Vektor x aus 2 mal dem e1 und 1 mal dem e3 besteht. Also die Ergebnisse von vorhin reinmultiplizieren. Dann hast du -2a1+1a2+1a3 -> a-2(-1,2,0) + 1*(0,2,0) +1*(0,2,1) Das Ergebnis der letzen Rechnung ist x in der Basis A.

Ich hoffe ich konnte dir helfen. Lg Linus

Fabian ±0

Die Transformationen sind nicht so schwer wenn man sich merkt, dass die Matrix mit den Basisvektoren immer von der Basis in die Standardbasis transformiert!

Sei B die Basis die wir da gegeben haben:

<img src="http://latex.univie.ac.at/?{\left(\begin{array}{ccc}1%20&%200%20&%201\2%20&%20-1%20&%200\0%20&%200%20&%201\end{array}\right)x_{B}=x_{E}\qquad\left(\begin{array}{ccc}1%20&%200%20&%201\2%20&%20-1%20&%200\0%20&%200%20&%201\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\2\1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\0\1\end{array}\right)=2\left(\begin{array}{c}1\0\0\end{array}\right)+0\left(\begin{array}{c}0\1\0\end{array}\right)+1\left(\begin{array}{c}0\0\1\end{array}\right)}" /> <img src="http://latex.univie.ac.at/?{x_B}" /> sind hier die Koordinaten bzgl der Basis B <img src="http://latex.univie.ac.at/?{x_E}" /> sind hier die Koordinaten bzgl der Standardbasis E

Die Inverse Matrix macht natürlich genau das Gegenteil.

Wenn wir sagen F ist die Basis auf (b) dann gilt:

Die Matrix mit F als Spalten transformiert von F nach E (was wir hier nicht brauchen), ABER die Inverse davon transformiert die Koordinaten bzgl E auf Koordinaten bzgl F:

<img src="http://latex.univie.ac.at/?{x_{F}=\left(\begin{array}{ccc}-1%20&%200%20&%200\2%20&%202%20&%202\0%20&%200%20&%201\end{array}\right)^{-1}x_{E}=\left(\begin{array}{ccc}-1%20&%200%20&%200\2%20&%202%20&%202\0%20&%200%20&%201\end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{c}2\0\1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2\1\1\end{array}\right)}" />

Michael ±0

Super, danke für die hilfe! :)

Alexander ±0
Formeln mit LaTeX anzeigen

@Fabian, du kannst TeX-Code auch einfach gleich hier im Forum eingeben -> siehe hier ganz unten.

Der BB-Code lautet TeX.

Grüße Alex

PS: Bald gibts auch einen eigenen Formeleditor mit erweiterten

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